اصلاح روش تبدیل دیفرانسیلی دو بعدی برای حل مسائل دیریکلۀ همگن؛ مسألۀ نمونه: انتقال حرارت در میله‌ها

نوع مقاله: مقاله مستقل

نویسندگان

1 دانشجوی دکتری، مهندسی عمران، دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد

2 استادیار، مهندسی عمران، دانشکده مهندسی دانشگاه فردوسی مشهد

10.22044/jsfm.2020.8868.3005

چکیده

در این مقاله، راهکاری برای بهبودِ روشِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ دو بعدی در حلِ مسائلِ مقدارِ مرزی ـ اولیه‌ی شاملِ معادلۀ دیفرانسیل با مشتقاتِ جزئی و شرایطِ مرزیِ دیریکلۀ همگن، با الهام از روشِ تغییراتیِ ریتز پیشنهاد شده است. برای این منظور، با ضرب کردنِ رابطۀ اساسیِ روشِ تبدیلِ دیفرانسیلی در توابعی معلوم که سببِ ارضاءِ شرایطِ مرزیِ مسأله می‌شوند، مشکلِ عدمِ ارضاءِ دقیقِ شرایطِ مرزی که روشِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ دو بعدیِ مرسوم از آن رنج می‌برد، بطورِ کامل مرتفع می‌گردد. البته بدیهی است با این کار، روابط و قوانینِ حاکم بر روشِ مرسوم و از جمله، رابطۀ بازگشتیِ متناظر با معادلۀ دیفرانسیلِ مسأله تغییر می‌کنند که این تغییرات، به شکلِ مبسوط در مقاله تشریح شده‌اند. در ادامه، برای نشان دادنِ کاراییِ روشِ پیشنهادی، دو مسألۀ انتقالِ حرارت در میله‌ها، یکی با ضریبِ پخشِ گرماییِ ثابت و دیگری با ضریبِ پخشِ متغیر و وابسته به مختصۀ مکانیِ میله، هم بطورِ دقیق و هم با استفاده از دو راهکارِ تبدیلِ دیفرانسیلیِ مرسوم و بهبودیافته حل شده و نتایجِ حاصل، در قالبِ جداول و نمودارهایی، با یکدیگر مقایسه شده‌اند. خوشبختانه، مجموعه نتایجِ عددیِ به‌دست آمده، نشاندهندۀ مؤثر بودنِ روش پیشنهادی و برطرف شدنِ مشکلِ عدمِ ارضاءِ دقیقِ شرطِ مرزیِ دیریکلۀ همگن در مسائلِ مقدارِ مرزی است.

کلیدواژه‌ها


[1] Zhou JK (1986) Differential Transformation and its applications for electrical circuits. Huazhong Univ. Press, Wuhan, China, (In Chinese).

]2[ غضنفری هلق ش، طلعتی ف (1394) حل تحلیلی و عددی معادله دیفرانسیل رسانش حالت پایا در صفحۀ مثلثی قائم­الزاویه با شرایط مرزی ثابت. مجلۀ مکانیک سازه­ها و شاره­ها 302-298 :(3)5.

[3] Zˇecová M, Terpák J (2015) Heat conduction modeling by using fractional-order derivatives. Appl Math Comput 257: 365-373.

[4] Joachimiak M, Joachimiak D, Ciałkowski M, Małdziński L, Okoniewicz P, Ostrowska K (2019) Analysis of the heat transfer for processes of the cylinder heating in the heattreating furnace on the basis of solving the inverse problem. Int J Therm Sci 145: 105985.

[5]  Abdykarim M, Berger J, Dutykh D, Soudani L, Agbossou A (2019) Critical assessment of efficient numerical methods for a long-term simulation of heat and moisture transfer in porous materials. Int J Therm Sci 145: 105982.

[6] Khanmohammadi S, Mazaheri N (2019) Second law analysis and multi-criteria optimization of turbulent heat transfer in a tube with inserted single and double twisted tape. Int J Therm Sci 145: 105998.

[7] Yu B, Jiang X (2019) Temperature prediction by a fractional heat conduction model for the bilayered spherical tissue in the hyperthermia experiment. Int J Therm Sci 145: 105990.

[8] Bervillier C (2012) Status of the differential transformation method. Appl Math Comput 218: 10158-10170.

[9] Patel Y, Dhodiya JM (2016) Application of differential transform method to solve linear, non-linear reaction convection diffusion and convection diffusion problem. Int J Pure Appl Math 190(3): 529-538.

[10] Nourifar M, Aftabi Sani A, Keyhani A (2017) Efficient multi-step differential transform method: Theory and its application to nonlinear oscillators. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 53: 154-183.

[11] Nourifar M, Aftabi Sani A, Keyhani A (2018) Free vibration analysis of rotating euler–bernoulli beam with exponentially varying cross section by differential transform method. Int J Struct Stab Dy 180(2): 1850024.

[12] Rezaiee-Pajand M, Aftabi Sani A, Hozhabrossadati SM (2017) Application of differential transform method to free vibration of gabled frames with rotational springs. Int J Struct Stab Dy 17(1): 1750012.

[13] Rezaiee-Pajand M, Aftabi Sani A, Hozhabrossadati SM (2018) Free vibration of a generalized plane frame. Int J Eng 31(4): 538-547.

[14] Rezaiee-Pajand M, Kazemiyan MS, Aftabi Sani A (2018) Solving coupled beam-fluid interaction by DTM. Ocean Eng 167: 380–396.

[15] Bert CW (2002) Application of differential transform method to heat conduction in tapered fins. J Heat Trans-T ASME 124: 208-209.

[16] Kuo BL (2005) Heat transfer analysis for the Falkner–Skan wedge flow by the differential transformation. Int J Heat Mass Tran 48: 5036-5046.

[17] Chu HP, Chen CL (2008) Hybrid differential transform and finite difference method to solve the nonlinear heat conduction problem. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 13: 1605-1614.

[18] Chu HP, Lo CY (2008) Application of the hybrid differential transform-finite difference method to nonlinear transient heat conduction problems. Numer Heat Transfer 53: 295-307.

[19] Lo CY, Chen BY (2009) Application of hybrid differential transform/control-volume method to hyperbolic heat conduction problems. Numer Heat Transfer 55: 219-231.

[20] Jang MJ, Yeh YL, Chen CL, Yeh WC (2010) Differential transformation approach to thermal conductive problems with discontinuous boundary condition. Appl Math Comput 216: 2339-2350.

[21] Rashidi MM, Laraqi N, Sadri SM (2010) A novel analytical solution of mixed convection about an inclined flat plate embedded in a porous medium using the DTM-Padé. Int J Therm Sci 49: 2405-2412.

[22] Rashidi MM, Mohimanian Pour SA (2010) A novel analytical solution of steady flow over a rotating disk in porous medium with heat transfer by DTM-Padé. Afr J Math Comput Sci Res 3: 93-100.

[23] Ayaz F (2003) On the two-dimensional differential transform method. Appl Math Comput 143: 361-374.

[24] Ozicik MN (1993) Heat Conduction.  John Wiley & Sons, New York.

[25] Farlow SJ (1993) Partial differential equations for scientists ans engineers. John Wiley & Sons, New York.