کاربرد روش تبدیل دیفرانسیلی در تعیین فرکانس های طبیعی تیر اولر- برنولی با پهنای متغیر و شرایط تکیه گاهی مختلف

نوع مقاله: مقاله مستقل

نویسندگان

1 مدرس دانشگاه آزاد اسلامی واحد قائمشهر

2 مدرس دانشگاه آزاد اسلامی واحد نجف آباد

چکیده

در این مقاله روش تبدیل دیفرانسیلی برای تعیین فرکانس‌های طبیعی ارتعاشات آزاد تیر ایزوتروپ اولر- برنولی با پهنای متغیر به‌کار گرفته شده است. سطح مقطع تیر بصورت تابع نمایی با ضرایب رشد دلخواه تغییر می‌کند. معادله دیفرانسیل مشتق جزیی حاکم، پس از استخراج و بی‌بعدسازی، بر مبنای روش تفکیک متغیرها به دو معادله دیفرانسیل معمولی برحسب زمان و مکان، تفکیک شده است. سپس با حل معادله تابع مکان به کمک روش‌های تحلیلی و تبدیل دیفرانسیلی، فرکانس‌های طبیعی سیستم برای ضرایب رشد و شرایط مرزی مختلف بدست آمده است. شرایط مرزی بصورت ساده- ساده(SS)، دوسرگیردار(CC)، گیردار- ساده(CS)، آزاد- آزاد(FF)، گیردار- آزاد(CF) و ساده- آزاد(SF)، در نظر گرفته شده است. مقایسه فرکانس‌های طبیعی بدست آمده از روش تبدیل دیفرانسیلی با حل تحلیلی، بیانگر دقت نسبتاً خوب روش مذکور در تعیین فرکانس‌های طبیعی سیستم ارتعاشی، مخصوصاً در مدهای پایین، می‌باشد. از آنجائیکه این روش بر مبنای بسط سری تیلور پاسخ است، برای بدست آوردن فرکانس‌های طبیعی دقیق‌تر و همچنین فرکانس مدهای بالاتر، تعداد جملات بیشتری از سری مورد نیاز می‌باشد. نتایج نشان می‌دهد که درحالت کلی به ازای تعداد جملات ثابت، اختلاف فرکانس‌های طبیعی بدست آمده از روش تبدیل دیفرانسیلی با مقدار حل دقیق، با افزایش شماره مد، افزایش می‌یابد.

کلیدواژه‌ها

موضوعات


[1] Gorman DJ (1975) Free vibration analysis of beams and shafts. first edn. John Wiley & Sons, New York.

[2] Cranch ET, Adler AA (1956) Bending vibration of variable section beams. ASME J Appl Mech 23(1): 103–108.

[3] Conway HD, Dubil JF (1965) Vibration frequencies of truncated-cone and wedge beams. ASME J Appl Mech 32(4): 932–934.

[4] Heidebrecht AC (1967) Vibration of non-uniform simply supported beams. J Eng Mech Division, Proc of the Am Soc of Civil Eng 93 (EM2): 1–15.

[5] Mabie HH, Rogers CB (1972) Transverse vibration of double-tapered cantilever beams. J of the Acoust Soc of Am 51: 1771–1775.

[6] Bailey CD (1978) Direct analytical solution to non-uniform beam problems. J Sound Vib 56 (4): 501–507.

[7] Olhoff N, Parbery R (1984) Designing vibrating beams and rotating shafts for maximum difference between adjacent natural frequencies. Int J Sol and Str 20: 63–75.

[8] Naguleswaran S (1992) Vibration of an Euler–Bernoulli beam of constant depthand with linearly varying breadth. J Sound Vib 153(3): 509–522.

[9] Naguleswaran S (1994a) A direct solution for the transverse vibration of Euler–Bernoulli wedge and cone beams. J Sound Vib 172(3): 289–304.

[10] Caruntu D (2000) On nonlinear vibration of non-uniform beam with rectangular cross-section and parabolic thickness variation. Sol Mech and its Appl 73. Kluwer Academic Pub, Dordrecht, Boston, London.

[11] Elishakoff I, Johnson V (2005) Apparently the first closed-form solution of vibrating inhomogeneous beam with a tip mass. J Sound Vib 286(4-5): 1057–1066.

[12] Jang SK, Bert CW (1989a) Free vibration of stepped beams: Exact and numerical solutions. J Sound Vib 130: 342–346.

[13] Mehmet C E, Metin A, Vedat T (2007) Vibration of a variable cross-section beam. Mech Research Communications 34: 78–84.

[14] Zhou JK (1986) Differential transformation and its applications for Electrical Circuits. Huazhong Uni Press, Wuhan, China.

[15] Ho SH, Chen CK (1998) Analysis of general elastically end restrained non-uniform beams using di€erential transform. Appl Math Model 22: 219-234.

[16] Ho SH, Chen CK (2006) Free transverse vibration of an axially loaded non-uniform spinning twisted Timoshenko beam using differential transform. Int J Mech Sci 48: 1323–1331.

[17] Zeng H, Bert CW (2001) Vibration analysis of a tapered bar by differential transformation, J Sound Vib 242: 737–739.

[18] Ozdemir O, Kaya MO (2006) Flapwise bending vibration analysis of a rotating tapered cantilever Bernoulli–Euler beam by differential transform method. Journal of Sound and Vibration 289: 661–670.

[19] Catal S (2008) Solution of free vibration equations of beam on elastic soil by using differential transform method. Appl Math Model 32: 1744–1757.

[20] Balkaya M, Kaya MO, Ahmet S (2009) Analysis of the vibration of an elastic beam supported on elastic soil using the differential transform method. Arch Appl Mech 79: 135–146.

[21] Aytac A, Ibrahim O (2010) Vibration analysis of composite sandwich beams with viscoelastic core by using differential transform method. Composite Str 92: 3031–3039.

[22] Yesilce Y, Hikmet HC (2011) Solution of free vibration equations of semi-rigid connected Reddy–Bickford beams resting on elastic soil using the differential transform method. Arch Appl Mech 81(2): 199-213.

[23] Ghafoori S, Motevalli M, Nejad MG, Shakeri F, Ganji DD, Jalaal M (2011) Efficiency of differential transformation method for nonlinear oscillation: Comparison with HPM and VIM. Current Appl Physics 11: 965-971.

[24] Hagedorn P, DasGupta A (2007) Vibrations and Waves in Continuous Mechanical Systems. John Wiley & Sons, England.